Motivação

Sistemas Lineares

A resolução de sistemas lineares é um problema clássico em ciência e engenharia, e sua implementação em hardware envolve a utilização de diversas estruturas fundamentais. Ao explorar esse problema, é possível abordar de forma prática os principais blocos que compõem circuitos digitais e entender como eles se organizam em arquiteturas mais complexas.

Em primeiro lugar, operações básicas como soma e subtração podem ser mapeadas em circuitos combinacionais, servindo de exemplo inicial para entender a construção de operadores aritméticos e como eles se conectam em módulos maiores. Na sequência, operações mais elaboradas como multiplicação e divisão exigem a presença de circuitos sequenciais, que introduzem o conceito de latência, temporização e controle de dados ao longo do tempo.

Além disso, ao se utilizar máquinas de estado finitas (FSMs) para organizar métodos diretos ou iterativos de solução, o estudante tem contato com uma das estruturas mais importantes em projeto digital, responsável por controlar o fluxo de execução e coordenar as diferentes etapas de cálculo. Esse ponto é particularmente relevante quando se considera a implementação de algoritmos de solução iterativa, como métodos de Jacobi ou Gauss-Seidel.

Outro aspecto motivador é que a solução de sistemas lineares envolve operações que também aparecem em processadores modernos, como o uso de operações em ponto flutuante, manipulação de vetores para representar equações, e sinais de controle que coordenam a execução em arquiteturas mais sofisticadas. Assim, o estudo desse problema permite não apenas praticar a construção de módulos de hardware isolados, mas também visualizar como esses blocos estão presentes em projetos reais de CPUs, GPUs e aceleradores de propósito específico.

Por fim, ao longo deste tutorial utilizaremos exemplos reais de classes implementadas no processador Rocket, não apenas para nos familiarizar com a descrição de hardware em Chisel, mas também para desenvolver a capacidade de ler e entender como projetos sérios e amplamente utilizados na academia e na indústria aplicam a linguagem na construção de hardware complexo.

Exploração do problema

\[ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_{1} \\ f_{2} \end{bmatrix} \;\;\Longrightarrow\;\; \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ 0 & a'_{22} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_{1} \\ f'_{2} \end{bmatrix} \]

\[ \begin{aligned} m_{21} &= \tfrac{a_{21}}{a_{11}} &\qquad x_2 &= \tfrac{f'_2}{a'_{22}} \\ a'_{22} &= a_{22} - m_{21}a_{12} &\qquad x_1 &= \tfrac{f_1 - a_{12}x_2}{a_{11}} \\ f'_2 &= f_2 - m_{21}f_1 \end{aligned} \]

O método direto aplicado aqui é a eliminação gaussiana, que funciona eliminando uma variável a cada iteração até transformar o sistema em uma forma triangular superior. A partir desse formato, a solução é obtida por retrossubstituição. No caso do sistema 2×2 mostrado acima, é necessária apenas uma iteração para eliminar a variável \(a_{21}\), reduzindo o problema a duas equações simples. Assim, a resolução completa se resume a calcular as expressões de \(x_2\) e \(x_1\) apresentadas, evidenciando como operações básicas de divisão, multiplicação e subtração permitem encontrar a solução final. Além disso, as soluções do sistema podem ser analisadas pelo determinante de \(A\): se \(\det(A) \neq 0\), existe exatamente uma solução; caso contrário, \(\det(A) = 0\) implica que \(a'_{22} = 0\), o que leva a um sistema singular sem solução única.

Nota: Nesta breve exploração assumimos que os pivôs nunca são nulos, de modo que não há necessidade de realizar pivotamento.

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